机器人学笔记

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导论

导论

  • 描述刚体状态
    • 平面
      • 自由度 DOF：x，y；旋转
      • 3 DOF
    • 空间
      • DOF：x，y，z；绕x，y，z轴转动
      • 6 DOF
  • 整合表示
    • 在刚体上建立frame：body frame
    • 移动：由body frame 的原点位置判定
    • 转动：由body frame 的姿态判断（相对于world frame）
  • 运动状态
    • 利用各个DOF的微分，将位移和姿态（displayment/orientation）转换到速度和加速度（角）等运动状态

移动

  • 以vector P 来描述body frame 原点B相对于world frame A 的状态
  • px py pz 三个分量
  • image-20250413151019317

转动

  • image-20250413152011106

旋转矩阵

描述B相对于A的姿态

  • ${}^{A}{B}R={}^{B}{A}R^{T}$
  • ${}^{A}{B}R^{T}{}^{A}{B}R=I{3}(单位矩阵)={}^{A}{B}R^{-1}{}^{A}_{B}R$
  • ->${}^{A}{B}R^{T}={}^{A}{B}R^{-1}(orthogonal\,matrix\,正交矩阵)={}^{B}_{A}R$
    1. always invertible; 2. columns: orthonoraml basis：length=1，mutually perpendicular
  • 旋转矩阵9个数字，但上述条件置入了6个限制，所以R只有3个DOF，同前述空间中转动有3个DOF

转换向量坐标

${}^{A}P={}^{A}_{B}R{}^{B}P$

描述旋转状态

image-20250413172449607

将vector 在同一个frame中进行转动

${}^{A}P’=R(\theta){}^{A}P$

旋转矩阵

与转角

旋转矩阵-3次旋转角度-3 DOF

两种拆解方式

  • 方向固定不动的转轴旋转：fixed angles
  • 对「转动的frame当下所在」的转轴方向旋转：Euler angles

Fixed Angles

  • X-Y-Z angles->rotation matrix
    • image-20250413203823961
  • rotation matrix->angles

Euler Angles

  • Z-Y-X angles->rotation matrix

    • image-20250413214935852

    • 欧拉角旋转在每一步都改变了参考系，因此每个旋转矩阵作用在已经旋转过的坐标系上。固定角旋转则是在同一个固定参考系中进行的，因此每个旋转矩阵作用在原始的固定坐标系上。

  • Z-Y-Z angles->rotation matrix

  • rotation matrix->angles

总结

  • 12种Euler/fixed 3x2x2
  • 共12中转动拆解方式（E正转=f反转）
  • image-20250414102431086

Mapping

  • 整合移动和转动
    • Homogeneous transformation matrix
    • image-20250414102950846
    • ${}^{A}{B}R{X,Y,Z}$

Operator

  • $R_{K}(\theta)$

总结

transformation matrix三种用法：

  • 描述一个frame相对于另一个frame的空间状态
  • 将point由某一个frame的表达转换到另一个frame来表达
  • 将point（vector）在同一个frame中进行移动和转动

Transformation Matrix 运算

  • 连乘
    • image-20250416162331712

  • 反矩阵

    • image-20250416162625628

  • 求位置相对关系

    • ${}^{U}{D}T={}^{U}{A}T{}^{A}{D}T={}^{U}{B}T{}^{B}{C}T{}^{C}{D}T$
    • IF ${}^{C}_{D}T$ unknown
      • $=({}^{U}{B}T{}^{B}{C}T)^{-1}{}^{U}{A}T{}^{A}{D}T$
      • $={}^{B}{C}T^{-1}{}^{U}{B}T^{-1}{}^{U}{A}T{}^{A}{D}T$
    • IF ${}^{B}_{C}T$ unknown
      • $={}^{U}{B}T^{-1}{}^{U}{A}T{}^{A}{D}T{}^{C}{D}T^{-1}$
  • 总结
    • B对A的转轴旋转，premultiply，类似fixed angles
    • B对B的转轴旋转，postmultiply，类似euler angles

顺向运动学

导论

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手臂几何描述

  • joint
    • 对某特定axis进行rotation或translation
  • link
    • 连接joint的杆件，刚体
    • link0 地杆 不动的
    • link1，2，从下到上
  • 描述
    • image-20250418193542302
    • 旋转joint和移动joint

D-H表示法 Denavit-Hartenberg

  • 建立frame
    • image-20250418194538847

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Actuator, Joint, and Cartesian Spaces

  • Joint space , Cartesianspace
    • ${}^{W}P<-\theta{1}…\theta{n}$ Forward Kinematics
    • ${}^{W}P->\theta{1}…\theta{n}$ Inverse Kinematics
  • Actuator space, Joint space
    • $\theta{joint}=\theta{motor}*N(齿轮比)$

逆向运动学

导论

reachable workspace：手臂可以用一种以上的姿态到达的位置

dexterous workspace：手臂可以用任何姿态到达的位置

subspace： 手臂在定义头尾的𝑇所能达到的变动范围

多重解

  • 解析法
    • 代数，几何
  • 数值法

Pieper’s Solution

步骤一：确定手腕中心点的位置

  • 利用末端的目标位置和姿态，反推出“手腕中心点”的位置。
  • 只需要前三个关节来达到这个点。

步骤二：求解前三个关节角度（θ1、θ2、θ3）

  • 这是一个三连杆（RRR）逆向运动学问题，通常可以用几何法或代数法解析求解。

步骤三：求解后三个关节角度（θ4、θ5、θ6）

  • 有了前三轴的解后，末端执行器的方向就只由后三轴决定。
  • 通过旋转矩阵，将末端目标姿态分解到后三轴，通常用欧拉角（如Z-Y-Z）或四元数等描述。

物件取放任务

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->Pieper’s Solution

机械手臂轨迹规划

导论

smooth path： continuous with first derivative

Joint Space 下的轨迹规划

  • 步骤
    • 定义T相对于G的initial，via，final points
    • inverse kinematics：将手臂末端点状态转换到joint状态
    • 对所有joints规划smooth trajectories
    • forward kinematics：将joint状态转换到手臂末端点状态，将手臂末端点再Cartesian space下轨迹的可行性

Cartesian Space 下的轨迹规划

  • 步骤

    • 定义T相对于G的initial，via，final points

    • 对所有手臂末端点状态规划smooth trajectories

    • 将规划好手臂末端点状态的轨迹点转换到joint状态，检查joint状态在Joint Space 下轨迹的可行性

Cubic Polynomials

三次多项式

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多段Cubic Polynomials

每段的边界条件

  • 每一段的起止点位置要和实际的关键点吻合。
  • 相邻两段的连接点（即中间点）处，要求：
    • 位置连续（轨迹不跳跃）
    • 速度连续（运动不突变）
    • （有时还要求加速度连续，但三次多项式只能保证前两项）

General Cubic Polynomials

  • 每段有4个系数（a0, a1, a2, a3），N段就有4N个未知数。
  • 通过以下条件来列方程：
    • 位置连续：每个点都必须被轨迹准确经过（2N个条件）。
    • 速度/加速度连续：中间点的速度、加速度要连续（一般2(N-1)个条件）。
    • 两端条件：还需要2个额外条件，通常是设置起点和终点的速度或加速度。

Linear Function with Parabolic Blends

Only linear function；Linear function with parabolic blends；Only parabolic functions

多段Linear Function with Parabolic Blends

参数设置

  • 可以选择“给定加速度算时间”或“给定时间算加速度”

这种方法有时轨迹不会严格经过所有给定的via points（中间点），如果必须经过，可以通过设置“伪via点”来调整。

Linear Function with Parabolic Blends注解

这种方法轨迹未必严格经过所有中间点；

若要求严格经过，需调整via点或用伪via点；

轨迹计算要分清每段类型；

受实际机械臂能力和空间限制影响，轨迹规划需结合实际情况灵活处理。

Cartesian Space下轨迹几何下限

中间某些区域无法到达，轨迹需要高加减速，针对特定的起始和终点姿态，无法产生连续轨迹